Settings for using Outlook/Hotmail SMTP via Gmail

I have a few e-mail accounts, all online rather than desktop application, for differing reasons – no, none for anything dishonest or malevolent, not for spamming, nothing negative. And I normally use a gmail account to handle my Hotmail e-mail, and Outlook e-mail. (I have a couple extra account names I use in Hotmail, one is an Outlook name. That is, the e-mail to my Outlook name will come into my Hotmail account, as the Outlook name is effectively an alternate name for my Hotmail account. This is something you can do in Hotmail settings).

Mail coming into my Hotmail account automatically goes over to my Gmail account. When an e-mail originally comes into my Hotmail account using the Outlook name, it is moved over to my Gmail. When I respond to it from gmail, it will go via my Hotmail account using the Outlook name. That is set up in gmail, via SMTM (just like from a desktop e-mail client, which is what I use my gmail as, as my interface for Hotmail, because I find gmail preferable). 

OK, now to the point. In recent months, when I get an incoming e-mail in my gmail account from my Outlook (Hotmail) account, and I try to respond to it, it is sent back saying it can’t connect, says I need to check my SMTP settings. Well, I have checked, and I checked to see if Hotmail/Outlook changed them since originally set up. My settings are exactly what Hotmail/Microsoft says they should be.

SMTP server: smtp.office365.com

user name: (that is the Outlook e-mail address)

password: (correct)

Port: 587

All that matches what Microsoft/Hotmail instructs to use. 

But there is a problem. Any ideas?